라마누잔, 무한, 급수, 확장된 급수

라마누잔의 식들이 놀랍게 보이는 건 무엇 때문일까?

3 = sqrt(1 + 2 sqrt(1 + 3 sqrt(1 + 4 sqrt(1 + 5 sqrt(1 + 6 sqrt(1 + 7 ... ))))

이런 식을 보면서, 어떻게 저런 식을 생각했을까 놀라게 되는데. 어떻게 저런 식을 만들게 되었는지 재구성해 보자.

우리는 일정한 규칙을 가진 수열을 배우고,

그 수열을 처음부터  n 항 까지 차례로 더하는 급수를 배워서, 일반식을 n 으로 표현하여 구하는 법을 배우고,

n 을 무한대로 두어, 무한급수가 어찌될지를 구한다.

위 식에서 라마누잔이 변경한 것은, "차례로 더한"다는 지점이다. + 는 우리에게 가장 익숙한 2항연산이고, 이것을 일반화 시키는 것이다. 

a + b 가 아니라, (위 식에서는)

a # b := a + sqrt(b) 

이 변경만으로 충분치 않은 것 같지만, 아무튼.

이렇게 연산을 일반화하면서, 무한한 수열에 대한 무한연산의 결과값을 연구했던 것 같다.