반원 안에 내접하는 지름위의 두 정사각형의 넓이의 합은?

유튜브에서 문제( https://www.youtube.com/watch?v=_zdWdat0DpU )를 보고, 아주 조금 더 기하학적인 풀이가 있을 것 같아서 생각해 봤다.

 

꼼수 해법은, P가 O인 특수한 경우를 우선 계산해 보는 것. 신기하게도 r^2 인 사실을 알아내면 객관식이라면 답을 찾을 수 있다. 신기한 결과니까 일반화해보자는 것이 이 문제의 의의같다.

원주각 45도, 중심각 90도 라는 사실을 알아내는 게 중요하고, 이후에는 대충 때려맞추면 된다. 마지막에 삼각형 옮기는 건, 각각 접점을 중심으로 90도씩 시계방향, 반시계방향으로 돌리는 걸로 생각하면 될 거다.

이런 직관 없이, 수식으로 풀 때에는, OP 를 d 로 놓고, ( a+d, a, r ), (b-d, b, r) 에 대해 피타고라스 정리를 사용하면 된다. 두 등식을 빼서 d에 대해 풀면, d 가 b-a 가 나오게 되고, 두 수식은 동일한 수식이 된다. 즉, a^2 + b^2 = r^2 . 이것이 그냥 구하고자 하는 넓이 S와 같아진다.